قانون نيوتن الثاني هو قانون نسبي دون نسبية آينشتاين*

[علاوي ياسين 0]

 

قانون نيوتن الثاني هو قانون نسبي دون نسبية آينشتاين*

 

 

الدكتور نزار حمدان

قسم الفيزياء - جامعة حلب - سورية

* ترجم هذا المقال: الآنسة هلا عوّاد– دبلوم دراسات عليا – قسم الفيزياء– جامعة حلب

 

 

الملخص

إن الإدعاء بأن قانون نيوتن الثاني هو قانون لا نسبي هو ادعاء تنقصه الدقة, وإذا أردنا الدقة يجب أن نقول أن قانون نيوتن الثاني قد تم استخدامه بغياب حقيقة: أن الكتلة تتعلق بالسرعة . هل هذا يعني أن إضافة مفهوم "الكتلة تتعلق بالسرعة" إلى قانون نيوتن الثاني يؤدي إلى الحصول على جميع علاقات الميكانيك النسبي دون استخدام النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين ؟ الجواب على هذا السؤال في هذا المقال هو بنعم .

 

- المقدمة:1

هدفت طريقة آينشتاين عند اشتقاق تحويلات لورنتز إلى أن هذه التحولات يجب أن تتضمن حقيقة لا تغيُّر سرعة الضوء بين جملتين عطاليتين والتي لا تحققها تحويلات جاليلو. وقد حصل آينشتاين على تحويلات لورنتز بطريقة مختلفة عن طريقة لورنتز عندما اعتبر إحداثيات نقطة هندسية في الجملة العطالية للحصول على إحداثيات النقطة نفسها في الجملة العطالية وذلك بشرط ضمان ثبات سرعة الضوء لحركة هذه النقطة في كلا الجملتين. بعد ذلك استبدل آينشتاين النقطة الهندسية بجسيم كتلته وهو ساكن هي فنجح في تعميم علاقة الطاقة الكلية للفوتون, أي , واشتقاقها من أجل الجسيم المتحرك. وهكذا أصبحت الطاقة الكلية للجسيم المتحرك تحقق مبدأ تكافؤ الكتلة بالطاقة بعد أن كان هذا المبدأ صالحاً للحقل الكهرطيسي فقط. ولكي تتوافق قوانين النظرية الكهرطيسية اللامتغيرة تحت تحويلات لورنتز مع قوانين الميكانيك التقليدي اللامتغيرة تحت تحويلات جاليلو شرع آينشتاين بتعديل الميكانيك التقليدي لينسجم مع تحويلات لورنتز. وكان من نتائج هذا التعديل على الميكانيك التقليدي ظهور الميكانيك النسبي وعلاقاته الأساسية الآتية [2,3]:

(1 a ) , ( 1b ) , (1 c )

( 1d ) , (1 e )

حيث الكتلة النسبية للجسيم المتحرك بسرعة و الطاقة الكلية النسبية للجسيم المتحرك و هي كمية الحركة النسبية للجسيم.

كما هو معروف فإن القوانين الأساسية في الميكانيك التقليدي والنسبي لها الشكل نفسه [3] فلدينا قانون نيوتن الثاني و العبارة المكافئة له أي :

(2b) (2a) ,

لكن في الميكانيك التقليدي فإن الكتلة لا تتعلق بالسرعة حيث تأخذ العلاقة (2a) الشكل التالي :

 

وهناك قوة أخرى في الميكانيك هي قوة مينكوفيسكي أي :

 

وباستخدام الزمن الذاتي للجسيم فإن المعادلات (2) تكتب بالشكل :

 

وهذا يعني أن المعادلة (2a) هي مركبة واحدة فقط من تنسور العطالة والطريقة المثلى لاشتقاق جميع علاقات الميكانيك النسبي هي الانطلاق من كلتا المعادلتين (2) وليس فقط من المعادلة (2a). إن تحويلات لورنتز والتي تبدو على أنها تعبرعن الخواص الديناميكية للجسيم قد اعتمدت على متناقضات الأفعال الكيماتكية . [4,5,6]فعلى سبيل المثال, المعادلة (1d) والتي تعبر عن الكتلة النسبية تم اشتقاقها باعتبار الجسيم ساكن في جملته المتحركة وهذا يعني أن اشتقاق العلاقة (1d) تم كنتيجة مباشرة لاستخدام علاقة تمدد الزمن بين الجملتين العطاليتين. وبالنتيجة فالعلاقة (1d) والتي اشتقها آينشتاين هي في الواقع نتيجة لفعل كيماتيكي هو تمدد الزمن. لتجنب استخدام الأفعال الكينيماتكية عند اشتقاق العلاقات الديناميكية للجسيم المتحرك عاد كثير من الباحثين الى نظرية الأثير[7,8] والتي هي طريقة تختلف في نقطة انطلاقها وآليتها الرياضية عن النظرية النسبية الخاصة. فنظرية الأثير تمكننا من اشتقاق العلاقات الديناميكية للجسيم المتحرك بمساعدة تحويلات جاليلو وبعض مفاهيم الإلكتروديناميك التقليدي.

في الإلكتروديناميك تم التخلص من الأفعال الكيماتكية عند اشتقاق العلاقات الديناميكية للجسيم المشحون المتحرك وذلك بالتأكيد على أولية القانون الفيزيائي بدلاَ من تحويلات لورنتز وأفعالها الكينيماتيكية [9a,9b,9c](المرجع [9a] صدر في العدد /101/ 2006 من مجلة عالم الذرة). والتشابه في قوانين القوة بين الميكانيك والإلكتروديناميك يساعدنا على تعميم طريقتنا من الإلكتروديناميك إلى الميكانيك.

ولذلك سنرى في هذا العمل كيف أن الانطلاق من العلاقات (2) يؤدي إلى اشتقاق جميع علاقات الميكانيك النسبي كما اشتقها آينشتاين (العلاقات ((1). وهذا تم لنا فقط انطلاقا من أسس الميكانيك التقليدي ودون استخدام النظرية النسبية الخاصة. فعلى سبيل المثال, فإن العلاقة الشهيرة (1a) يتم الحصول عليها في الكتب الجامعية من قوانين الميكانيك التقليدي وذلك بضرب العلاقة (2a) سلميّاً ب , فنحصل على :

(3a)

وبما أن المقدار في الطرف الأيسر للعلاقة (3a) يعبر عنه بمعادلة هاملتون أي (وذلك لأن وحيث الهاملتوني ) فإننا نحصل:

(3b)

و بمقارنة كلتا المعادلتين (3b) , (3a) نجد :

(3c )

الطاقة الكلية للجسيم سيتم تحديدها لاحقا. المعادلة((3c توضح أن العلاقة (1a ) يمكن أن تشتق من مفاهيم الميكانيك التقليدي لكن في الميكانيك التقليدي تكون الطاقة الكلية لجسيم حر الحركة هي عبارة عن الطاقة الحركية, أي: [3] , .

 

2- قانون نيوتن الثاني ومبدأ النسبية:

لنفرض الآن أن المراقب الموجود في الجملة العطالية يرصد جسيم متحرك, فإذا اعتبر هذا المراقب أن الكتلة تتغير مع السرعة فإن العلاقة (2a)تصبح بالشكل:

( 4 )

و لنفرض أن مراقب آخر موجود في الجملة العطالية , وأن هذا المراقب سيأخذ بمفهوم نيوتن وهو أن الكتلة لا تتغير مع السرعة فإن العلاقة (2a)تصبح بالشكل:

( 5 )

بالمقارنة بين العلاقتين( 4 ) و( 5 ) نرى أن كلا من الكتلة والقوة لا تتوافق مع الكتلة والقوة وهذا مخالف لمبدأ النسبية. في الواقع ووفقا لمبدأ النسبية فإن العلاقة(5) يجب أن تكون من الصيغة نفسها للعلاقة ( 4 ). هذا يعني أن الكتلة يجب أن تتعلق بالسرعة, تماما كما تتعلق الكتلة بالسرعة. بالتالي فأن العلاقة (5)يجب أن تكتب بالشكل:

( 6 )

أي أن قانون نيوتن الثاني يتضمن في طياته أن الكتلة تتغير مع السرعة. واعتمادا على هذه الحقيقة فإننا سنبين في هذا العمل أن العلاقات (2) هي علاقات صالحة لوصف الميكانيك النسبي, أي انطلاقا من العلاقات(2) سنقوم باشتقاق جميع علاقات الميكانيك النسبي(العلاقات (1) ) دون استخدام النسبية الخاصة أو تحويلات لورنتز.

 

3- اشتقاق علاقات التحويل النسبية بالاضافة الى علاقة الكتلة النسبية:

لتكن لدينا جملتين عطاليتين و وتتحركان بالنسبة لبعضهم البعض بسرعة نسبية .

الاحداثيات الديكارتية للعلاقة (a2) تكتب في الجملة بالشكل:

( a ) , ( b ) , ( c ) ( 7 )

وفق مبدأ النسبية فان العلاقات (7 ) تكتب في الجملة , بالشكل:

( a ) , ( b ) , ( c ) ( 8 )

انطلاقاً من العلاقة (3c) وضربها بـ ومن ثم جمعها للعلاقة (7a) , وبقسمة العلاقة الأخيرة على المقدار نجد:

 

بضرب وقسمة الطرف الأيسر للعلاقة الأخيرة على العدد السلمي , ومقارنة العلاقة الأخيرة مع العلاقة (8a) نجد:

( 9a ) , ( 10 )

وكذلك نجد:

( 11a )

أيضاً بالانطلاق من العلاقة (7b) وقسمتها على المقدار , ومن ثم المقارنة مع العلاقة (8b) نجد:

( 9b ) , ( 11b )

 

النتيجة نفسها نحصل عليها إذا انطلقنا من العلاقة (7c), أي نجد:

( 9c ) , ( 11c )

مربع شعاع السرعة في الجملة العطالية هو: والمطابقة الآتية

 

تكتب بالشكل الأتي:

 

بجمع وطرح المقدار للعلاقة الأخيرة, ومن ثم ترتيب العلاقة الناتجة نجد:

(12)

إذا عرفنا علاقات تحويل السرعة بالشكل:

( a ) , ( b ) , (c ) ( 13 )

فإننا نستطيع عندئذ كتابة العلاقة (12) بالشكل:

 

أو:

( 14a )

العدد السلمي يمكن تحديده الآن وذلك باستخدم مبدأ النسبية على العلاقات (13a) و(11b). وهكذا فان المعادلات (13a) و (11b) تكتب في الجملة بالشكل:

( 15a ) , ( 15b )

وبالتالي نستطيع أن نعوض العلاقة (13a) في العلاقة (15a) لنجد:

( 15c )

وبشكل مشابه بتعويض العلاقة (11b) في العلاقة (15b) فنجد:

( 15d )

المعادلات(15c) و (15d) تقودنا إلى تعيين العدد السلمي :

( 16a ) ( 16b )

الآن بتعويض العلاقة (13b) في العلاقة (9b) فنجد:

( 14b )

أما اذا عوضنا العلاقة (14a) في العلاقة (14b) فيكون لدينا:

( 17 )

كما هو معروف أن كل مراقب له الحق أن يعتبر جملته العطالية هي الجملة الساكنة. وهذا يعني أنه من الممكن اعتبار الجملة جملة ذاتية للجسيم. وهذا يعني أن وبالتالي , لذا نجد من العلاقة (17) أن:

( 18a )

ووفق مبدأ النسبية فأن المراقب في الجملة له الحق أن يعتبر جملته هي جملة ذاتية للجسيم أيضا, وهكذا نجد أن:

( 18b )

بتربيع العلاقات (18), والأخذ بعين الاعتبار تعريف كمية الحركة للجسيم نجد أن:

 

أو:

(19)

من جهة أخرى, فان المقدار يكتب بالشكل:

 

ولكن وكذلك لدينا من العلاقة (18a) أن , ومنه نجد:

 

أو:

(20a)

وبشكل مشابه نجد للمقدار أن :

(20a)

نستطيع الآن تحديد الطاقة الكلية وذلك من العلاقة (3c) والتي تكتب وفق الصيغة:

(21)

ومن العلاقة(18a) لدينا أيضا:

(22)

وبتعويض العلاقة (22) في العلاقة (21) نجد:

(23)

من جهة أخرى بما أن المقدار يؤول من أجل السرع الصغيرة للجسيم إلى الطاقة الحركية التقليدية, أي . فإننا نستطيع أن نعرف المقدار الأتي:

(24)

على أنه الطاقة الحركية النسبية للجسيم.

وإذا كان تغير الطاقة الكلية النسبية يرتبط دوما بتغير الكتلة وفق العلاقة (23) فهذا يعني أن طاقة الجسيم ذو الكتلة هي وهي ليست إلا الطاقة الكامنة للجسيم. ولذلك فان الطاقة الكلية النسبية للجسيم هي مجموع الطاقتين الحركية والكامنة, أي:

(25)

وبمقارنة العلاقة (24) مع العلاقة (25) نجد أخيرا:

(26a)

هذا يعني أن الكميات و في العلاقات (20a) و (20b) هي ليست إلا الطاقات الكلية النسبية للجسيم و في الجملتين و على الترتيب. ولذلك فان المعادلات (14b) , (19) و (20) تكتب من جديد وفق الصيغة:

(27a), (27b),

, (27c)

(28a) , (28b)

(28c)

وحيث

( 26b )

هي الطاقة الكلية النسبية للجسيم في الجملة .

أخيرا, وبتعويض العلاقة (26a) في العلاقة (3c) نجد:

 

وباستخدام هذه العلاقة في العلاقة (20) نحصل قانون نيوتن النسبي:

( 29 )

على عكس النسبية الخاصة والتي أدت إلى ظهور الميكانيك النسبي وعلاقاته الأساسية فان هذه العلاقات تحوي ضمن طياتها الأفعال الكينماتكية. بينما في هذه الصياغة لم تتضمن آلية الاشتقاق تحويلات لورنتز وأفعالها الكينماتكية وبالتالي فان علاقات الميكانيك النسبي في هذه الصياغة دينامكية. وعلى الأخص العلاقات (18). وأكثر من ذلك فان تحويلات لورنتز يتم اشتقاقها في هذا المقال, تماما كما تم اشتقاقها في النسبية الخاصة, أي أن تحويلات لورنتز تصف فقط إحداثيات نقطة هندسية بين جملتين عطاليتين, وبالتالي فهذه التحويلات وأفعالها الكينيماتيكية لاتصف ديناميك الجسيم المتحرك. وهذا ما لاحظناه في هذا المقال فالانطلاق من قانون نيوتن الثاني واستخدام مبدأ النسبية يبين أن جميع علاقات الميكانيك النسبي ذات طبيعة دينامكية.

فالعمل المطبق على الجسيم ذو الكتلة يؤدي إلى زيادة الطاقة الحركية لهذا الجسيم وبالتالي, وفق مبدأ تكافؤ الكتلة بالطاقة ( الطاقة الركية مقسومة على ), فان هذا يؤدي إلى زيادة في الكتلة ولهذا يظهر في كل العلاقات النسبية سواء في الميكانيك أو الالكتروديناميك معامل زيادة الكتلة الشهير والذي بدوره يرتبط في علاقات التحويل النسبية وفق المطابقة (14a) والتي تتضمن في طياتها علاقات جمع السرع النسبي(13).

 

 

الخاتمة:

جرت العادة على اعتبار أن الميكانيك النسبي هو تعديل( تصحيح) للميكانيك التقليدي, بينما هذا التعديل نفسه يتم الحصول عليه إذا عدنا مرة أخرى إلى قانون نيوتن الثاني واعتبار أن الكتلة متغيرة مع السرعة. ونعلم أن أي صياغة جديدة يجب أن تحتوي الصياغة القديمة كحالة خاصة. وعملنا يحقق هذا المطلب أيضا وذلك باشتقاق جميع علاقات الميكانيك النسبي انطلاقا من فرض جديد وهو تغير الكتلة مع السرعة بدلا من فرض النسبية الخاصة. وكذلك بدلا من فرض مينكوفسكي في الضياغة الرباعية الامتغيرة, وهو تغيرات الزمكان عند الانتقال من جملة عطالية إلى أخرى وفق تحويلات لورنتز سواء مكتوبة في الصياغة الثلاثية 3-d أو الرباعية الامتغيرة 4-d.

 

شكر:

أشكر الأستاذ الدكتور ثنثيا كولب ويثني ,رئيس تحرير مجلة الالكتروديناميك الجاليلي, لمساعدته في تدقيق وتصحيح الأخطاء اللغوية في مسودة المقال بعد قبوله للنشر.

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

منقول

[Max Planck 0]

السلام عليكم ..

الموضوع مشوق ولكن توجد معادلات ناقصة على ما أظن ..

أتمنى أن تعالج الأمر فأنا متشوق لقراءة الموضوع ..

Max

 

 

[علاوي ياسين 0]

السلام عليكم ..

الموضوع مشوق ولكن توجد معادلات ناقصة على ما أظن ..

أتمنى أن تعالج الأمر فأنا متشوق لقراءة الموضوع ..

Max

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله عالى وبركاته

وبعد،

أخي الكريم، هذا ما في الطجين من طبخ. ولكن أعدك إن وجدت ما هو أوسع وأشمل سأوافيك به دون تعجيل. تقبل مني ودمت بخير ورمضان كريم.